¿Tiene todo espacio metrico una curva?

junio 23, 2007

¿Existe un espacio metrico conexo M, que sea totalmente arcodisconexo?

Mas precisamente, lo que se pide es un espacio metrico M que sea conexo pero que toda funcion continua f:[0,1]\rightarrow M sea constante.

5 comentarios to “¿Tiene todo espacio metrico una curva?”

  1. unimbecil said

    No, incluso se puede hacer un ejemplo en el plano de un conjunto compacto, conexo pero que no contiene ningún arco (por ejemplo el pseudo-círculo).

  2. charlydif said

    ¿Que es el Pseudo-circulo ?

    Yo estaba pensando en un conjunto muy denso para que sea conexo pero que no tenga curvas….. por ejemplo un maximal respecto a no tener curvas en algun sentido. Pero eso claramente no iba a quedar compacto, asi que si tenes un ejemplo con compacto buenisimo!

  3. unimbecil said

    Buscando con google veo que el pseudo-círculo no es tan famoso como el pseudo-arco (esencialmente son lo mismo, uno es la version “cerrada” del otro). Acá dan una definición del pseudo-arco, aunque no es nada iluminadora:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-arc

    Lo que importa es que el pseudo-arco es un continuo (o sea, un compacto conexo) que es hereditariamente indecomponible. Eso significa que cualquier sub-continuo de él tiene la propiedad de ser indecomponible (que quiere decir que no se puede poner como unión de dos sub-continuos propios).
    Eso implica que no puede contener ningun arco, porque es fácil ver que un arco (la imagen de una f:[0,1]->M no constante) siempre es decomponible.

  4. charlydif said

    Comentario de Martin, existe un subconjunto conexo del plano tal que le podes sacar un punto para que quede totalmente disconexo. Increible!

    Yo todavia no entendi muy bien que es el Pseudo-Arco o el Pseudo-Circulo, pero cumple eso?

  5. gabo said

    En teoría de continuos pueden encontrarse varios bichos que son compactos y conexos, pero muy raros (pueden agarrarse el nadler “continuum theory” que es el libro clásico en el tema, aunque puede haber libros mejores) también puede que encuentren cosas chistosas en “contraejemplos en topología”. además del pseudoarco, que puede construirse como la entersección de tiritas que se hacen zig-zag unas en otras y hacen pliegues y pliegues hasta el infinito (y lo que queda al final no es tan trivial imaginarlo), hay otro espacio que se construye haciendo “explotar” todos las vecindades que puedan formar parte de un arco y sustituirlas por una “curva del topologo” (un seno de 1/x entre 0 y 1), con su cerrasura. Haciendo esto al infinito, se garantiza que todos los arcos que pudieran haber existido, se “explotaron”. Lo que te queda no sólo es conexo sino que también es compacto.

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