Compactos y distancia de Hausdorff

junio 19, 2007

Dado un subconjunto C de un espacio metrico M definimos el \epsilon-entorno como C(\epsilon)=\{x/d(x,C)<\epsilon\}. Ahora dados A,B\subset M podemos definir las distancia de Hausdorff d_H como

d_H(A,B)=inf\{\epsilon/ B\subset A(\epsilon), A\subset B(\epsilon)\}

 Sea K(M) el espacio metrico de compactos de un espacio metrico M con la distancia de Hausdorff antes definida.

a) Si M es completo entonces K(M) es completo.

b) Si M es compacto entonces K(M) es compacto.

c) Si M={\mathbb {R}}^n entonces limite de convexos es un convexo. 

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