Funciones Armonicas Discretas

abril 20, 2007

Consideremos en el plano los puntos de coordenadas enteras, en cada uno de ellos tenemos escrito un numero real positivo. Se sabe ademas que cada numero es el promedio de sus 4 vecinos, probar que todos los numeros son iguales.

 Nota: Los 4 vecinos de un punto de coordenas (m,n) son (m+1,n),(m-1,n),(m,n+1)(m,n-1).

Una version mas sencilla del problema anterior es suponiendo no solo que los numeros escritos son positivos sino que estan en el intervalo (0,1).

8 comentarios to “Funciones Armonicas Discretas”

  1. charlydif said

    El problema anterior es una version discreta de lo siguiente:

    Una funcion f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} se dice armonica si {{\partial^2 f}\over {\partial x^2}}+{{\partial^2 f}\over {\partial y^2}}=0. Las funciones armonicas cumplen que el valor en un punto (x,y) se puede calcular como f(x,y)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}f(x+cos \theta,y+sen \theta)d\theta es decir que “el valor en un punto es el promedio de lo que pasa en un circulito alrededor”.

    Teorema: Una funcion Armonica “ACOTADA” es constante.

    Lo mismo vale si reemplazamos f armonica por una funcion f: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} holomorfa (derivable en \mathbb{C}). Porque tambien vale que el valor en un punto es el promedio de lo que ocurre alrededor y que una funcion holomorfa en todo \mathbb{C} y “ACOTADA” es constante. (De lo ultimo se deduce que todo polinomio tiene raices complejas porque si P(z) fuera un polinomio sin raices complejas entonces 1/P(z) es holomorfa en todo el plano y acotada entonces constante entonces P(z) era una constante).

  2. julianhaddad said

    ¿No falta la hipótesis de que los números están acotados?

  3. charlydif said

    Que sean positivos es que esten acotadas por abajo y que esten en (0,1) es que esten acotados por arriba y por abajo.

    Por cierto, me olvide de decir que sin esas hipotesis es mentira, por ejemplo si en la casilla (i,j) ponemos el numero i+j entonces se verifica la condicion pero no son todos iguales.

  4. charlydif said

    Funciona!!! Hoy en algun rato libre termine la cuenta y lo que debia dar 1 me dio 4 asi que supongo que nos falto dividir por 4 (despues la hice de otra manera distinta y me dio otra vez 4 pero ahi reconoci donde me faltaba dividir por 4).

  5. charlydif said

    Si le hubieramos hecho caso a Quimey………….

    si en vez de estimar la diferencia entre los numeros en (-1,0) y (1,0) estimamos la diferencia entre (0,1) y (1,0) entonces anda mas rapido y la cuenta es mas sencilla. Basicamente en vez de mirar por columnas ahora hay que mirar por diagonales paralelas a y=x (el precipicio es esa recta ahora) y en vez de tirar 1\over 4 a cada costado y quedarse con 1\over 2 ahora simplemente tira 1\over 2 a cada costado. Es decir que lo que hay que probar es lo siguiente.

    Tenemos un flaco al lado de un precipicio (a su derecha), el flaco camina con probabilidad 1\over 2 a su derecha y 1\over 2 a su izquierda, entonces la probabilidad de que el tipo se caiga es 1.

    Para esto, notemos que la probabilidad de que se caiga en el paso 2k+1 es {1\over 2^{2k+1}}{1\over k+1}{2k \choose k} (lo anterior corresponde a contar los posibles paseos de 2k pasos que no se caiga y termine donde empezo y multiplicado por 1\over 2^{2k+1} que es la probabilidad de que ocurra cada paseo en particular y que al finalizarlo eliga la derecha). Luego lo que queremos es que f({1\over 4})=1 donde

    f(x)={1\over 2} \sum_{k=0}^\infty {1\over k+1}{2k\choose k}x^k

    Pero f(x)={1-\sqrt {1-4x}\over 4x} de donde f({1\over 4})=1 !!!!!!

  6. charlydif said

    Finalmente logre definir una “conjugada armonica” pero no me sirvio de nada. Para el caso general lo mejor que pude probar es que la funcion crece a lo sumo como 3^n (mas precisamente si a,b son los numeros en puntos vecinos entonces a\leq 3b) y que para todo \alpha \in (0,1) crece al menos como n^\alpha (no la funcion sino el maximo de la funcion en la bola de radio n).

  7. charlydif said

    Tengo una demostracion nueva para el caso de numeros entre 0 y 1 que usa Zorn!!!!!!!!!!!!

  8. Humberto carrasco said

    deseo saber si la funcion Z= x 2 – y 2 es arminica

    humberto

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