Acomodando vectores

abril 18, 2007

Este es un problema de geometría (?) que me surgió pensando un problema de análisis y, aunque parezca exótico, creo que es necesario para resolver el problema de análisis. Y no lo resolví. Acá va.

 Hallar un k adecuado y probar el siguiente lema:

 Sean v_{1}, \ldots, v_{n} vectores de \mathbb{R}^{2}, todos de norma menor que un cierto \epsilon, y de modo que \sum\limits_{i=1}^{n} v_{i} = 0.

 Probar que se los puede reordenar de modo que las sumas parciales sean todas de norma menor que k\epsilon, esto es, existe una función biyectiva \sigma:\{1,\ldots,n\} \to \{1,\ldots,n\} (una permutación) tal que \forall j \in \{1,\ldots ,n\} : \parallel \sum\limits_{i=1}^{j} v_{\sigma (i)} \parallel < k \epsilon .

2 comentarios to “Acomodando vectores”

  1. ltaravilse said

    No se que le pasó a esta página pero escribí un montón y sólo aparecen las primeras cuatro palabras de lo que escribí y no lo puedo borrar cuando puedan borrenlo y les cuento hoy lo que escribí

  2. charlydif said

    Esto es un intento de revivir el tema.

    Hasta ahora solo pude demostrar que si tenemos vectores v_1,\ldots ,v_n \in \mathbb{R}^2 con |v_i|\leq 1 entonces podemos ordenarlos de forma que cada suma parcial tenga modulo \leq \sqrt 5.
    De hecho si a_n es la mejor constante para vectores en \mathbb{R}^n entonces a_{n+1}\leq \sqrt{4a_n^2+1}. Pero estas cotas son malas ya que son del orden de 2^n y se sabe que a_n\leq n mientras que a_2=\sqrt {5\over 4}.

    Por otro lado, si los vectores tienen todos modulo 1 entonces \sqrt{5\over 4} otra vez es lo mejor pero solo logre demostrar que \sqrt 2 funciona.

    ¿Alguien consiguio mejores cotas?

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