Sumar muchos números

abril 16, 2007

sea N \subseteq [0,1]\: /\: \# N>\aleph_0

decidir si \exists \sup \{\sum A \:/\: A\subset N \:y\: \# A<\infty\}

4 comentarios to “Sumar muchos números”

  1. marlowepi said

    ¿\sum A es la suma de todos los elementos en A?

  2. marlowepi said

    ok, qué tal así… Sea U_{n} = [\frac{1}{n},1] \cap A. Claramente A = \bigcup \limits_{i \in \mathbb{N}} U_{i}, luego hay algún U_{n} infinito (si no, A es a lo sumo numerable). Sumo finitas (digamos k) cosas que estén en ese U y me da siempre más que \frac{k}{n}, con k arbitrario y el n fijo. Luego, el sup es siempre infinito.

    Sospecho que la idea de postear esto es que básicamente queremos ver que no se pueden sumar más que numerables cosas…

  3. marcossarini said

    Una idea parecida:

    Teorema de Cantor-Bendixson

    Sea S un conjunto cerrado en \mathbb{R}^{n}. Probar que se puede expresar como unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto numerable.

    Aclaraciones: Un conjunto es perfecto si es igual al conjunto de sus puntos de acumulación. Vale que cualquiera de los dos conjuntos de la descomposición sea vacío. Llamo numerable a finito o infinito numerable.

    ¿Además de \mathbb{R}^{n}, en qué tipo de espacios vale el teorema?

  4. marlowepi said

    Sin duda alguna, el teorema se puede demostrar para todo espacio que sea unión disjunta de un conjunto perfecto y uno numerable

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