Estudio de Función (no es como en Análisis I…)

abril 5, 2007

Vamos a definir una función (la voy a llamar f para variar), y después voy a plantear un par de cuestiones respecto de la función… Sea \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots \} = \mathbb{Q} \cap [0,1] una numeración de \mathbb{Q}\cap [0,1] y sea \Omega_{x} = \{n : a_{n} < x \} (es importante el <)

Definimos f_{\{a_{n}\}} = \sum\limits_{n \in \Omega_{x}} \frac {1} {2^{n}} (de ahora en más, escribo f por f_{\{a_{n}\}} salvo en un punto que me parece necesario hacer la distinción)

Se trata de estudiar las siguientes cuestiones

1. El ejercicio de complementos (para que la vayan conociendo)

a) f es monótona creciente

b) \forall n \in \mathbb{N} f(a_{n}+) - f(a_{n}-) = \frac{1}{2^{n}} > 0 (luego, f es discontinua en \mathbb{Q} \cap [0,1] )

c) f(x-) = f(x+)\: \forall x \in [0,1] - \mathbb{Q} (es decir, f es continua en todos los irracionales)

2. Problema

a) Demostrar que f es integrable, y aún más, es integrable Riemann (para que funcione para todos los chicos y chicas que todavía no conocieron al señor Lebesgue)

Como f es integrable, sea

I =\{a \in \mathbb{R} : \exists \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots \} = \mathbb{Q} \cap [0,1] \: con\: a = \int \limits_{0}^{1} f_{\{a_{n}\}} dx\} (¿a alguien se le ocurre una mejor forma de escribirlo y que se note que estoy integrando f‘s distintas para cada \{a_{n}\}?)

b) Demostrar que

  • I \subseteq (0,1) (o dicho de forma más interesante, 0, 1 \notin I)
  • \overline{I} = [0,1] (o dicho de forma más interesante, I es denso en el [0,1] )

c) ¿Se puede dar una descripción completa de I?(o sea, quiero saber quién es I )

Bueno, se hizo largo pero eso es todo. ¡Saludos!

8 comentarios to “Estudio de Función (no es como en Análisis I…)”

  1. marcossarini said

    hice una edición poco emocionante. falta que alguien confirme eso y lo cambie definitivamente.

  2. yll314 said

    probando

  3. yll314 said

    Sobre la parte 2.c):

    Tengo un problema mucho menos ambicioso que tampoco sé resolver: cómo exhibir UN número que esté en I o UNO distinto de 0 y 1 que no esté en I. Pudieron hacer esto?.

    Respuesta a 2.a) y algo más:

    f es una serie uniformemente convergente de integrables, a saber f=\sum f_k donde f_k es \frac{1}{2^k} por la característica del intervalo (a_k,1]. Luego f es integrable y su integral es la suma de las integrales de las f_k, es decir \sum \frac{1-a_k}{2^k}. Y con esto qué?. La parte 2.b) es más o menos clara, pero como dije antes: cómo mostrar un número que esté en $\latex I$?. Para eso debo dar una numeración de los racionales?

  4. yll314 said

    Listo, conseguí una descripción completa de I!!!.

    I=(0,1).

    La idea que se me ocurrió es para cada x\in (0,1) ver que existe una suceción {b_n} de racionales distintos del [0,1] tales que \sum \frac{b_n}{2^n}=x (pido que las sumas parciales disten de x en menos de \frac{1}{2^n}). Pero como quiero que esta sucesión pase por todos los racionales, pruebo que puedo obligar a cualquier racional a aparecer en la sucesión, respetando la construción original.

  5. marcossarini said

    Yo llegué a lo mismo. Lo que tengo es para mí una variación de un procedimiento parecido para encontrar el desarrollo binario de un número.

    Lo que hago es hacer una lista de todos los racionales, y entonces armo la sucesión b del siguiente modo: elijo primero algunos números yo, y después me turno: elijo yo, después saco uno de la lista, después elijo yo, etc. Tengo que ir tachando de la lista los que elijo yo.

  6. marcossarini said

    Me hace acordar al siguiente pedazo de un libro (Introducción al Análisis Matemático, de Hebe Rabuffetti). Lo escribo sin demostraciones.

    Definición: Decimos que una sucesión \{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}} es un reordenamiento de otra sucesión \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} si existe una función biyectiva f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} tal que
    \forall n \in \mathbb{N}: b_{n}=a_{f(n)}.

    Teorema: Sea \{a_{n}\} una sucesión de números reales, tal que la serie \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.

    1) Si \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mid a_{n} \mid converge y \{b_{n}\} es un reordenamiento de \{a_{n}\}, entonces \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} converge al mismo valor que \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}.

    2) (Riemann) Si \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mid a_{n} \mid no converge y x es un real cualquiera, entonces existe un reordenamiento \{b_{n}\} de \{a_{n}\} tal que x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}.

  7. charlydif said

    Ah……yo hice algo parecido…. creo que es parecido a lo que decia marcos, pero la idea es que para pasar por todos en cada turno digo bue ahora me falta este…..asi que pongo algunos que sumen poco para dejarle lugar al que quiero poner y asi…..
    Estaria bueno dar algo mas general…algo del estilo. Dadas 2 sucesiones, ¿que numeros se pueden representar como producto escalar de ambas??? o algo asi….

    PD: a mi me hizo acordar a ese y al de la secuencia de la cono que hizo ramiro con teo chino del resto.

  8. marcossarini said

    Me surgió otra pregunta relacionada:

    Seguimos con la definicición de reordenamiento.

    Definición: Decimos que una sucesión \{b_{n}\}_{n \in \mathbb{N}} es un reordenamiento de otra sucesión \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} si existe una función biyectiva f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} tal que
    \forall n \in \mathbb{N}: b_{n}=a_{f(n)}.

    Ahora, sea \{a_{n}\} una sucesión de vectores en \mathbb{R}^{m} tal que \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} converge. Definimos el conjunto C_{\{a_{n}\}} = \{v \in \mathbb{R}^{m}/ \exists \{b_{n}\} \:reordenamiento\:de\:  \{a_{n}\} / v = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \}.

    Pregunta: ¿Cómo es el conjunto C_{\{a_{n}\}}?

    Hasta ahora sé lo siguiente:

    Definición: Un subespacio afín en \mathbb{R}^{m} es un conjunto que se puede obtener sumando a todos los puntos de un subespacio un mismo vector. En particular, todos los subespacios son subespacios afines. Pero el conjunto de los subespacios afines contiene también por ejemplo a las rectas, {punto}s y planos que no contienen al origen.

    Hasta ahora, sé (y es trivial para los que hicieron la versión en \mathbb{R}) que para cada subespacio afín S de \mathbb{R}^{m}, existe una sucesión \{a_{n}\} tal que C_{\{a_{n}\}} = S.

    Sospecho que no hay más que subespacios afines.

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