Lema de Sperner

abril 5, 2007

En \mathbb{R}:

Sea en \mathbb{R} un intervalo que es unión de varios intervalitos (disjuntos excepto posiblemente en los extremos). Se marca un extremo del intervalo grande con A, el otro con B, y los extremos de intervalitos que quedaron en el interior se marcan cada uno con A o con B.

Probar que hay un intervalito AB.

En \mathbb{R}^{2}:

Sea un triángulo triangulado. Es decir, un triángulo que es la unión de una familia de triangulitos, de modo que dos de ellos pueden ser disjuntos, tener un vértice en común o tener un lado en común (se dice que esta familia es una triangulación del triángulo grande). Se marcan todos los vértices con una letra A, B o C, de modo que:

1) Los vértices del triángulo grande tienen letras distintas.

2) Los vértices ubicados en lados del triángulo grande tienen alguna de las letras de los extremos de ese lado.

3) Los vértices interiores tienen cualquier letra.

Probar que hay algún triangulito ABC en la triangulación.

En \mathbb{R}^{3}:

Sea un tetraedro tetraedrizado. Es decir, un tetraedro que es la unión de una familia de tetraedritos, de modo que dos de ellos pueden ser disjuntos, tener un vértice en común, tener una arista en común o tener una cara en común (se dice que esta familia es una tetraedrización del tetraedro grande). Se marcan todos los vértices con una letra A, B, C o D, de modo que:

1) Los vértices del tetraedro grande tienen letras distintas.

2) Los vértices en caras del tetraedro grande tienen alguna de las letras de los vértices de esa cara.

3) Los vértices interiores tienen cualquier letra.

Probar que hay algún tetraedro ABCD en la tetraedrización.

Pistas: Cuando tratamos de probar Sperner en \mathbb{R}^{2}, ¿qué nos dice el lema de Sperner en \mathbb{R} acerca de los lados del triángulo grande?

Pista muy quemadora: En el lema de Sperner en \mathbb{R}, podemos decir algo más acerca de la cantidad de intervalitos AB? (que hay una cantidad impar, o algo así).

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