Conjetura de los conjuntos cerrados por uniones

abril 1, 2007

Sea F una familia de k conjuntos, tal que si A, B están en F, la unión de A y B está en F.

Conjetura: hay un elemento que pertenece a al menos \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil conjuntos de la familia.

Una respuesta to “Conjetura de los conjuntos cerrados por uniones”

  1. ltaravilse said

    Veamos que podemos hacer que haya a lo sumo \frac{k(k-1)}{2} elementos.
    Tomamos un elemento x que está en algún conjunto de F tal que x no está en \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil conjuntos de F, si no existen dos conjuntos A y B tales que A \cup \{x\} = B entonces podemos eliminar x de todos los conjuntos en los que esté contenido x y se sigue cumpliendo que si A y B están en F entonces A \cup B está en F y si había un elemento en \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil conjuntos de F sigue estando en \left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil conjuntos de F. Es importante ver que A \cup \{x\} no esté en F porque al eliminar x estaríamos dejando dos conjuntos iguales y considerandolos como conjuntos distintos. Si eliminamos elementos de F de esta manera sólo nos van a quedar elementos que cumplan con la propiedad de que si x está en algún conjunto de F entonces existen A, B \in F tales que A \cup \{x\} = B. Como existen \frac{k(k-1)}{2} pares de conjuntos A, B \in F entonces existen a lo sumo \frac{k(k-1)}{2} elementos en F.

    Aprovecho para presentarme por pedido del moderador… Me llamo Leopoldo, tengo 18 años (19 en dos semanas), estoy en el CBC para Matemáticas y estudiando Ingeniería en otra universidad y soy ex olímpico y de ahí llegué a este foro…

    No se si sirve de mucho lo que demostré pero era para postear algo para introducirme en el foro y presentarme ante los que no me conocen más que nada…

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