No retraccion

marzo 29, 2007

Probar que no existe f:D^2\rightarrow S^1 continua tal que f(x)=x para todo x\in S^1.

Lo mismo vale en dimension mayor.

Nota: D^2 es el circulo de radio 1 y S^1  es su borde.

6 comentarios to “No retraccion”

  1. yll314 said

    Escribo cualquier cosa para probar esto: ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ab.

    H_n(S^n)=\mathbb{Z} \neq 0=Hn(D^n) \Rightarrow S^n no es retracto de D^n.

  2. charlydif said

    Con respecto a si la esfera S^2 es contractil, no sale igual que el caso de S^1 a partir de no-retraccion ???

    Si tenemos f:S^2\times I\rightarrow S^2 continua con f|_{(S^2,0)} constante y f|_{(S^2,1)}=Id entonces definimos g:B^3 \rightarrow S^2 tal que si t\in [0,1] y x esta en S^2 entonces g(tx)= f(x,t) y tenemos una retraccion…..

    PS:Notar que esta bien definida ya que f|_{(S^2,0)} es constante.

  3. marcossarini said

    no había pensado en eso… supongo que es bueno
    falta demostrar que g es continua, pero creo que sé cómo.

  4. marcossarini said

    Disclaimer:

    a) No pude resistir la tentación de cambiar las letras. Perdonen.
    b) Si escribí más símbolos que los necesarios, es porque estoy aprendiendo a usar \LaTeX. De hecho, está escrito del modo más largo posible. Probablemente no valga la pena leerlo, porque sólo demuestro que g es continua en el centro de la bola.

    Acá vamos.

    Estamos en \mathbb{R}^{n} y definimos la bola D^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert \le 1\} con su centro 0_{D^{n}} y su cáscara S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert = 1\}. Además, I=[0,1].

    En subespacios S \subseteq \mathbb{R}^{n} usaremos la métrica euclídea restringida a S, d_{S}. En I, la métrica d_{I} usual dada por el valor absoluto de la diferencia. En espacios de la forma S \times I, usaremos la distancia d_{S \times I} dada por d_{S \times I}((x_{1},t_{1}),(x_{2},t_{2})) = max(d_{S}(x_{1},x_{2}),d_{I}(t_{1},t_{2})).

    Ya sabemos que vale el teorema de no retracción, es decir, que no existe g:D^{n} \to S^{n-1} continua tal que g\mid_{S^{n-1}} = Id_{S^{n-1}}.

    Queremos ver que no existe h:S^{n-1} \times I \to S^{n-1} continua tal que h\mid_{S^{n-1} \times \{1\}}= Id_{S^{n-1}} y h\mid_{S^{n-1} \times \{0\}} es constante. Supongamos que existe y sea k \in S^{n-1} la constante tal que h\mid_{S^{n-1} \times \{0\}} \equiv k.

    Definimos para llegar al absurdo la retracción g:D^{n} \to S^{n-1} dada por \forall x \in S^{n-1}, t \in [0,1]: g(tx)=h(x,t). Como dijo Carlos, nótese que g está bien definida porque cada punto excepto el centro de D^{n} se puede escribir de exactamente una manera como producto tx, y para el centro cualquier valor de x que tomemos da lo mismo al aplicar h.

    Hasta acá, nada nuevo.

  5. marcossarini said

    Ahora, para probar que es continua, descompongamos g en la forma g=f\circ h con f:D^{n} \to S^{n-1} \times I dada por: \forall x \in S^{n-1}, t \in [0,1): f(tx)=(x,t) y f(0_{D^{n}}) = (k,0). En lugar de k se podría haber puesto cualquier cosa, pero había que elegir algo.

    Así, es cierto que g es continua porque es composición de continuas, excepto en 0_{D^{n}}, en donde f no es continua. Entonces, ahí hay que probar manualmente la continuidad de g. En símbolos, hay que probar que

    \forall \epsilon >0: \exists \delta >0/  g(B(0_{D^{n}},\delta ) \subseteq B(k,\epsilon )

    Para eso, fijado \epsilon, pensemos qué nos dice la continuidad de h. Consideremos un punto cualquiera x \in S^{n-1}. Sabemos que h(x,0) = k, y por la continuidad de h, existe un \delta_{x} >0 tal que h(B((x,0),\delta_{x})) \subseteq B(k,\epsilon). Observemos que las bolas B((x,0),\delta_{x}) son de la forma B_{S}(x,\delta_{x}) \times B_{I}(0,\delta_{x}).

    Ahora, como el conjunto \{B((x,0),\delta_{x}): x \in S^{n-1}\} es un cubrimiento por abiertos de S^{n-1} \times \{0\}, que es un subespacio compacto de S^{n-1} \times I, existe un subconjunto finito \{B((x,0),\delta_{x}): x = x_{1}, \dots, x_{n}\} que también lo cubre. Miremos fijo lo que tenemos: Si definimos \delta=min\{x_{1}, \dots, x_{n}\}, y tomamos un punto de B(0_{D^{n}},\delta) y le aplicamos f, obtendremos un punto (x,t) con \delta > t, con lo que estaremos en una de las bolas del cubrimiento finito, y al aplicar h caeremos en B(k,\epsilon). El \delta que tenemos es el \delta buscado.

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