Bunt-Motzkin

marzo 27, 2007

Sea A un conjunto del plano tal que para todo p la distancia de p a A se realiza y existe un unico a en A tal que d(p,A) = d(p,a). Probar que A es Convexo.

Nota: Julian, no encontre la Paenza de donde lo sacaste asi que no se si es el enunciado correcto. De donde yo lo conocia esta formulado algo distinto, un poco mas complicado y un poco menos general (en principio).

9 comentarios to “Bunt-Motzkin”

  1. julianhaddad said

    Es la 14 ava realización en 1999.
    El enunciado es así salvo que además dice que A es cerrado. Juraría
    que además lo vi en otra, pero no la encuentro.

  2. julianhaddad said

    marcossarini@gmail.com wrote

    Tengo un nuevo intento de solución… alguien va a estar mañana a la
    tarde en la facultad?
    Marcos.

  3. julianhaddad said

    marcossarini@gmail.com wrote

    Alguien conoce un teorema que diga que una función continua del
    círculo unitario al círculo unitario que deja fija la frontera debe
    ser sobreyectiva? También me serviría lo siguiente: no existe una
    función continua del círculo unitario a la frontera del círculo
    unitario que deje fija a la frontera. Estaría bueno también tener una
    versión en R^n, reemplazando círculo por n-bola. La versión en R es el
    teorema de los valores intermedios. Si alguien conoce al menos el
    nombre, me avisa? Gracias.

    Marcos

  4. julianhaddad said

    Carlos di Fiore wrote

    Marcos, lo que decis es cierto. Lo primero se deduce de los segundo.
    Lo segundo no se si tiene nombre. En un contexto mas general si tenes
    A un subconjunto de X, entonces A es un retracto de X si tenes una
    funcion continua de X en A que deja fijo a A (o quizas X es retracto
    de A….no me acuerdo bien….. para colmo hay retracto debil, fuerte
    y no se cuantas cosas mas). Lo que se prueba es que el circulo no es
    un retracto de la bola o mas general que la esfera no lo es de su
    respectiva esfera.

    Para el caso de dimension 2 lo podes probar elementalmente, en
    dimension mas grande no estoy seguro.

    PD: El munkres lo llama “Teorema de la no retraccion”.

  5. julianhaddad said

    Carlos di Fiore wrote

    ¿precisas eso para el problema del convexo?

    PD: Si no me equivoco, la demostracion de Joni de que es simplemente
    conexo era la observacion de que el conjunto es un retracto del plano
    (via la funcion de asignar el punto mas cercano).

  6. julianhaddad said

    Marcos Cossarini wrote

    para el problema del convexo en Rn necesito el teorema de no retracción en
    Rn-1, con lo que, para nuestro problema, el teorema de los valores
    intermedios me alcanza. Aunque no lo pensé muy detenidamente en Rn. Cuando
    lo termine de escribir bien aviso.

  7. julianhaddad said

    Yll wrote

    Bueno, (parece que) tengo (otra) solución para el problema del
    convexo. Lo que pasa es que es medio una porquería: es un poco larga,
    más técnica que original, y usa esto de que A es simplemente conexo.
    Dudo por eso que sea la solución más elemental, la oficial y la más
    elegante o feliz.

    Después vemos si me la creen (quienes sepan lo que son las homotopías
    y el grupo fundamental).

    La solución de Marcos estaba bien?.

  8. julianhaddad said

    Marcos Cossarini wrote

    La solución de Marcos (yo) no fue evaluada aún. Marcos está esperando la
    próxima reunión del grupo fundamental para contarla. De todos modos,
    probablemente Marcos tenga una clase en el horario de dicha reunión, de modo
    que no sé qué va a pasar. Mañana voy a saber si tengo clase o no.

    Marcos

    Ah, Marcos está avocado a pensar o encontrar ya pensada una demostración que
    pueda entender del teorema de no-retracción. Creo que esto me permitiría
    resolver la versión en R^n del problema del convexo. Ahora justamente estoy
    por (intentar) leer unas cosas.

  9. julianhaddad said

    Marcos Cossarini

    Heyyy! Yo por mi la cuento, pero me pareció mejor esperar a que estuviéramos
    todos juntos. No es la idea? Si nos juntamos algunos y otros no, es feo.

    Otra cosa: Alguien sabe una demostración que se le pueda contar en un día a
    una persona que hizo avanzado de que las fronteras de las bolas de R^n no
    son contraíbles?

    Definiciones:

    Homotopía: Sean X e Y dos espacios métricos, y sean f y g dos
    funciones continuas de X en Y.
    Se dice que f y g son homotópicas en Y si existe una homotopía en Y entre
    ambas,
    es decir, una función continua H cuyo dominio es el producto
    cartesiano entre X y el intervalo [0,1] y cuyo recorrido está en Y que
    cumple que para todo x en X

    H(x,0) = f(x) y H(x,1) = g(x). La homotopía es una relación de
    equivalencia.

    Espacio contraíble: un espacio métrico es contraíble si existe en ese mismo
    espacio una homotopía entre la función identidad en ese espacio y la función
    constante.

    A modo de inspiración dejo un paper que encontré que prueba en algunos
    renglones el caso de R^2, y saca algunas consecuencias. Está muy bueno.

    Marcos

    P.D.: mañana lunes tengo un molesto final a las 10, de modo que no sé si voy
    a pasar por la práctica.

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