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Topología Naturista

Junio 23, 2008

Un sábado entre la 1 y las 3 am, Fede Carrá me tiró este problema:

Todo espacio vectorial tiene una topología natural. Es la generada por todos los conjuntos convexos y absorbentes. *

1) Notar que estos bichos forman una base.

2) Observar que si el espacio es de dimensión finita, da la topología usual.

3) Probar que esta topología es más fina que la inducida por cualquier norma.

4) Decidir si esta topología es normable.

5) Decidir si es la topología final respecto de las inclusiones de los subespacios de dimensión finita.

* Decimos que $A$ es absorbente si para todo elemento $x$ en el espacio, existe un $r_0$ talque $r.x \in A$ $\forall 0< r < r_0$ .

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Escrito por julianhaddad

Bandas de Mobius

Abril 11, 2008

a) Probar que con un rectangulo de $1\times \sqrt 3$ se puede formar una Banda de Mobius diferenciable (con plano tangente en cada punto).

b) Probar que con un rectangulo de $1\times {\pi \over 2}$ NO se puede formar una Banda de Mobius diferenciable.

c) ¿Cual es el mejor $\lambda$ ?

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Escrito por charlydif

Topología > Este Problema > Avanzado

Diciembre 26, 2007

Este problema surgió mientras preparabamos con Julián una solución limpita del problema del grafo pintado (ver página de páginas). Dado un conjunto $X$ , podemos considerarlo como un espacio métrico asignándole la métrica discreta ( $d(x,y) = 1 \iff x \neq y$ ). Consideremos ahora una familia de espacios finitos $X_n$ , cada uno de ellos con la métrica discreta; como cada conjunto es finito, es compacto.

Ahora, dada esta familia, podemos formar el espacio producto $\displaystyle \prod_{n \in \mathbb N} X_n$ . En principio este es simplemente un conjunto, pero se le puede asignar una métrica de la siguiente manera. Dados dos puntos $x = (x_n)_{n \in \mathbb N}$ y $y= (y_n)_{n \in \mathbb N}$ , se define $\displaystyle d(x,y) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{d_n(x_n,y_n)}{2^{n+1}}$ . Es fácil ver que esto define una métrica en el producto.

Un teorema muy importante de topología, el teorema de Tychonoff, garantiza que este espacio es compacto. ¿Se puede dar una demostración a nivel Cálculo Avanzado en este caso particular?; sé que “nivel cálculo avanzado” no está bien definido, pero digamos que me gustaría escuchar ideas sobre como demostrarlo sin irse al demonio.

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Escrito por Marlowe, PI

Mamushka

Noviembre 22, 2007

Sea $S^n = \{x \in \mathbb R^{n+1}: ||x|| = 1\}$ , es decir, la esfera de radio uno en es espacio de dimensión $n +1$ .

Sea $h: S^n \to S^n$ , continua e inyectiva. Entonces es un homeomorfismo (es sobreyectiva, y la inversa es continua).

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Escrito por Marlowe, PI

Poincaré no se andaba con chiquitas

Noviembre 15, 2007

Esto se conoce como el teorema de recurrencia de Poincaré, y es un resultado HERMOSO:

Sea $f: D \to D$ una función que envía el disco en sí mismo, tal que $|f(C)| = |C|$ , y estoy hablando de la medida de Lebesgue (pídanle medible, continua, lo que quieran… según wikipedia, vale con sólo pedir que preserve la medida de cualquier conjunto)…

1. Probar que para todo medible (“lo probamos para abiertos…”) $U \subset D$ , hay un punto $x \in U$ y un $n \in \mathbb N$ tal que $f^n(x) \in U$ , es decir, que para todo entorno hay un punto en su interior que a la larga vuelve a caer en ese entorno.

2. Probar que $x$ puede ser casi cualquier punto del entorno, es decir, que la medida de los puntos de $U$ que nunca vuelven a $U$ es 0.

En particular, si vierten agua de una botella en un vaso, y las encierran en una caja, eventualmente el agua volverá a la botella…

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Escrito por Marlowe, PI

Espacios locos

Septiembre 8, 2007

1) Union de numerables cerrados conexos disjuntos (2 a 2) ¿da necesariamente disconexa?

2) ¿Existe un espacio métrico arcoconexo sin curvas inyectivas?

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Escrito por julianhaddad

El problema de los rusos hablando inglés

Septiembre 7, 2007

Sea $f: I \longrightarrow I^2$ , donde $I = [0,1]$ , una función continua y sobreyectiva (se le dice una función de Peano). Demostrar que hay un punto $x \in I^2$ tal que $\#f^{-1}(x) \geq 3$ .

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Escrito por Marlowe, PI

Se buscan demostraciones

Julio 21, 2007

La idea es encontrar demostraciones elementales.

En lo que sigue definimos la bola $D^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert \le 1\}$ y la esfera $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert = 1\}$ .

1) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$f(a)=f(-a)$ .

2) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua y $a,b$ en $S^2$ . Entonces existe alguna reflexion de $S^2$ en $S^2$ que lleva a estos puntos en $a',b'$ tales que

$f(a')=f(b')$ .

3) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua y $a,b,c$ en $S^2$ que forman un triangulo equilatero. Entonces existe alguna reflexion de $S^2$ en $S^2$ que lleva a estos puntos en $a',b',c'$ tales que

$f(a')=f(b')=f(c')$ .

4) Sea $f:S^2\rightarrow S^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$ff(a)=a$ .

5) Sea $f:S^2\rightarrow S^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$f(a)=a$ o $f(a)=-a$ .

6) Probar que no existe un campo de vectores tangentes sobre $S^2$ .

7)(No Retraccion) Probar que no existe $f:D^n\rightarrow S^{n+1}$ tal que $f(x)=x$ para todo $x$ en $S^{n+1}$ .

8 ) (Borsuk-Ulam) Sea $f:S^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ continua, entonces existe $a$ en $S^n$ tal que

$f(a)=f(-a)$ .

9) Sea $2\leq k\leq n+1$ y $C\subset S^n$ un conjunto de $k$ puntos. Probar que si $f:S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n-k+2}$ entonces existe un $C'\subset S^n$ congruente a $C$ tal que todos sus puntos tengan la misma imagen en $\mathbb{R}^{n-k+2}$ en el caso

a) $k=2$
b) $k=3$ y $n=2$

10.1) Probar que no existe $f:S^{n+1}\rightarrow S^n$ que preserve antipodas.

10.2) Probar que no existe $f:D^n\rightarrow S^{n+1}$ que preserve antipodas.

11) Probar que si $f:S^n \rightarrow S^n$ preserva antipodas entonces es sobreyectiva y no es homotopicamente nula.

12) Probar que si tenemos un campo de vectores tangentes que nunca se anula sobre $S^n$ entonces $n$ es impar

13) Probar que $D^n$ y $D^m$ no son homeomorfos si $n\neq m$ .

Bonus Track:(Borsuk)
14) Si cubrimos a $S^n$ con $n+1$ cerrados entonces hay dos puntos antipodales en el mismo cerrado.

15) Si un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^m$ esta cubierto por $n+1$ cerrados entonces existe $f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$ continua tal que para todo $y$ en $\mathbb{R}^n$ se tiene que $f^{-1}(y)$ esta contenido en uno de los $n+1$ cerrados.