Cuadrados

Un número entero es suma de los dos cuadrados de dos enteros sii no es divisible por ningún primo de la forma . ¿Cuándo es un número racional suma de los cuadrados de dos números racionales?

Ahora Nermal (la gatita más adorable del mundo), jugará con un ovillo de lana…

Hay un método para encontrar cotas para ciertos resultados, llamado “unwinding” (no sé cómo se llama en español). Un ejemplo famoso es el número de Skewes. Pueden leer sobre él aca. Básicamente, se trata de estudiar la estructura de una demostración no constructiva de la existencia de un número para dar cotas al valor de dicho número (o eso entendí).

En medio de mi ensueño actual, pensé lo siguiente. Uno podría hacer eso con la demostración de Euclides de que los primos son infinitos, aunque, obviamente, Euclides da una cota superior para el “siguiente primo” (su demostración es en cierto sentido “constructiva”). Sabemos que el primer primo mayor que 2 debe ser y . Después, sabemos que el primer primo mayor que 3 debería ser menor o igual a 7. Ahí nuestra cota se zarpa un poquito. Si uno sigue haciendo la prueba, en general la cota parece ser cada vez peor. ¿Se puede mejorar el argumento de Euclides? ¿se puede dar una mejor cota para el siguiente primo? Parece ser seguro que sí, pero me gustaría ver qué se nos ocurre…

El Problema de Martín

El otro día me encontré con Martín (Avendaño, valga la aclaración), y nos colgamos resolviendo el siguiente problema:

Encontrar los tales que .

Pista:

Después de mucho meditar, Martín dijo “Claro, ¡ no tiene soluciones enteras!” (Me contó una historia verdaderamente fantástica al respecto, pero este post es demasiado pequeño para contenerla).