Un teorema algebraico

Principio de elección medible (Von Neumann):

Sean y does espacios de medida, separables, con sus respectivas medidas borelianas. Sea , un subespacio localmente compacto. Entonces, si es la proyección en la primera coordenada,   es boreliano, y existe una sección de (definida sobre la imagen de ) tal que

a) (es decir, , salvo obviamente medida cero )

b) es boreliana.

Como resultado es lindo, hay que ver qué onda. Puede ser que me equivoque en algún detalle, porque lo estoy citando de memoria, no lo encontré en ningún lado en internet.

Campos

Se tiene un campo continuo y localmente Lipschitz

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria asociada
sea la solución cuyo valor inicial es
o sea,
y

Sea medible

Probar que si en todos lados, entonces
es constante en t

Gracias David Kiegel

Poincaré no se andaba con chiquitas

Esto se conoce como el teorema de recurrencia de Poincaré, y es un resultado HERMOSO:

Sea una función que envía el disco en sí mismo, tal que , y estoy hablando de la medida de Lebesgue (pídanle medible, continua, lo que quieran… según wikipedia, vale con sólo pedir que preserve la medida de cualquier conjunto)…

1. Probar que para todo medible (“lo probamos para abiertos…”) , hay un punto y un tal que , es decir, que para todo entorno hay un punto en su interior que a la larga vuelve a caer en ese entorno.

2. Probar que puede ser casi cualquier punto del entorno, es decir, que la medida de los puntos de que nunca vuelven a es 0.

En particular, si vierten agua de una botella en un vaso, y las encierran en una caja, eventualmente el agua volverá a la botella…