Infinitas lemniscatas, y más +.

1. Se tiene infinitas lemniscatas (ver acá) en el plano, que no se cortan. Demostrar que estas son a lo sumo numerables.
2. Se tienen infintos signos “+” en el plano, que no se cortan (ver aquí: +). Demostrar que son a lo sumo numerables.

El problema de los rusos hablando inglés

Sea , donde , una función continua y sobreyectiva (se le dice una función de Peano). Demostrar que hay un punto tal que .

Teorema de Helly en el plano

Dados conjuntos convexos acotados del plano tales que las intersecciones de a tres sean no vacías, entonces la intersección de todos es no vacía. Dicho de otra forma:

si distintos,

entonces

¿Como se llaman los poligonos de 7 lados?

1. Un 1993-agono convexo fue partido en 7-agonos convexos, probar que hay 4 vertices consecutivos del 1993-agono que pertenecen al mismo 7-agono.

(Aclaracion:un vertice de un n-ágono no puede estar sobre un lado de un m-ágono)

2. ¿Se puede dividir al plano en 7-agonos convexos?¿Y en 7-agonos convexos iguales?

3. ¿Se puede dividir al plano en 7-agonos convexos de forma tal que todo circulo unitario interseque a menos de 123456789 de ellos? ¿Y si ademas los 7-agonos deben ser todos de diametro menor o igual a 1?

4. Supongamos que tenemos al plano dividido en 7-agonos convexos con diametros menores o iguales a 1, fijemos un punto O. Llamemos al numero de 7-agonos que caen dentro del circulo de centro O y radio . Probar que existe tal que