Cosas con M

‘They were learning to draw,’ the Dormouse went on, yawning and rubbing its eyes, for it was getting very sleepy; ‘and they drew all manner of things—everything that begins with an M—’

‘Why with an M?’ said Alice.

‘Why not?’ said the March Hare.

Alice was silent.

Lewis Carroll, Alice in Wonderland.

Si es un grafo (simple, sin lazos, no orientado) finito, una inmersión extraña de en el plano es una forma de dibujarlo en el plano de manera tal que (i) los vértices son todos distintos, (ii) cada arco es un arco de Jordan (sin problemas podemos suponer que son suaves o lineales a trozos), (iii) si dos arcos se intersecan lo hacen o bien en un extremo común o bien en puntos interiores de los dos, y en este segundo caso la intersección es transversal, y (iv) se cumple la condición de que todo par de arcos se interseca una vez.

¿Puede dar ejemplos?

20/20

Sea un conjunto en el plano, con la siguiente propiedad: dados dos puntos en , sea la recta formada por los puntos equidistantes a ambos. Entonces cuando reflejamos por el conjunto queda quieto, es decir, es una recta de simetría de

a) caracterizar los posibles

b) Averiguar cómo se llaman las rectas formadas por los puntos equidistantes a dos puntos dados.

Sugerido por Fede Carrá.

Nada de Homologías

Entre otras cosas, la homología del plano permite demostrar que si , con y abiertos conexos, entonces es conexo. ¿Demostraciones menos técnicas?

Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.

Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.

Dado un conjunto de puntos del plano, sea una función tal que para cualquier isometría del plano vale

Entonces es constantemente nula.

Para es trivial, para casi, para sale, para creo que sale con bastantes vueltas, y después no sé, pero no quiero estar por el caso para cuando me muera.

Advertencia: Este post tiene contenidos de la vida real(no apto para fundamentalistas de la matematica pura)

1) Supongamos que tengo n ovejas que viven en . En un determinado momento de tiempo se encuentran en . Yo que soy un malvado opresor imperialista las quiero encerrar en un muro circular del menor radio. Para minimizar los costos quiero encontrar un punto (x,y) y un numero real r para que todas las ovejas esten en el circulo de radio r y centro (x,y) con r minimo.
2) Tengo n peces que viven en y los quiero encerrar en una red esferica de radio minimo. El resto es similar al item 1.

Para los curiosos: Estoy haciendo un programa para unas cosas de GPS y me aparecio este problema.

Juego de feria

Encontrar el mínimo tal que se puede cubrir la bola cerrada unidad del plano, con 5 bolas cerradas de radio .

ojo. no sé si existe mínimo =)

Lo vi en una feria. Si cubrías el círculo rojo con los cinco circulitos, te ganabas una moto!!!

Órdenes de M

Buscar un bello, simple, elegante, transparente y geométrico argumento para la existencia de un polígono de n lados de área máxima. Prohibido usar análisis.

Se proyecta por la banda…

Sea un conjunto tal que interseca a toda bola de radio 1.

Probar que existe una recta tal que la proyección de sobre la recta es un conjunto denso (la recta la pensamos como , por supuesto).

(Se agradece a unimbecil su aporte)

Teorema de Minkowski

Un reticulo es el conjunto de combinaciones lineales de una base de .

El volumen del reticulo es

Demostrar que si es un conjunto convexo y centralmente simetrico es decir que satisface ademas:

Entonces existe en .

Convexo al fin

a) Dado un polígono no convexo le aplicamos la siguiente operación: elegimos 2 vértices no consecutivos y , tales que el polígono está contenido en uno de los 2 semiplanos que determina la recta y se refleja una de las partes del polígono que une con por el punto medio de . Si aplicamos esta operación indefinidamente, probar que tarde o temprano el polígono se vuelve convexo.

b) Mismo problema que antes pero ahora en vez de reflejar por el punto medio del segmento lo hacemos por la recta (se conjetura (al menos hasta hace unos 15 años) que reflexiones alcanzan para volverlo convexo).