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A smooth criminal function

Mayo 12, 2008

Tenemos una función $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ , que cumple lo siguiente:

Para toda curva $\sigma : [-1,1] \to \mathbb R^n$ , $\mathcal C^\infty$ tal que $\sigma(0) = p$ , se tiene que $\displaystyle \lim_{t \to 0} f \circ \sigma (t) = L$ .

¿Es cierto entonces que $\displaystyle \lim_{x \to p} f(x) = L$ ?

Lo de siempre: si sí, quiero una demostración, y si no, dar un contraejemplo.

¡Gracias a El Sir por la pregunta!

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Escrito por Marlowe, PI

Mazur-Ulam

Marzo 20, 2008

Sean $X,Y$ espacios normados, probar que si $F:X\rightarrow Y$ es una isometria sobreyectiva de espacios normados entonces es afin.

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Escrito por charlydif

Análisis 1, primer parcial

Octubre 23, 2007

Encuentre un $\alpha \in \mathbb R$ tal que la siguiente sucesión tienda a infinito:
$a_n = n^\alpha . |\sin (n)|$

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Escrito por julianhaddad

El problema de los rusos hablando inglés

Septiembre 7, 2007

Sea $f: I \longrightarrow I^2$ , donde $I = [0,1]$ , una función continua y sobreyectiva (se le dice una función de Peano). Demostrar que hay un punto $x \in I^2$ tal que $\#f^{-1}(x) \geq 3$ .

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Escrito por Marlowe, PI

El regreso de Bolzano

Agosto 21, 2007

llamemos $I = [-1,1]$

$p_i : \mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R$ a las proyecciones

sea $f: I^2\longrightarrow\mathbb R ^2$ Contínua, tal que

$p_1(f(-1,t))=-1$

$p_1(f(1,t))=1$

$p_2(f(t,-1))=-1$

$p_2(f(t,1))=1$

Entonces $\exists \: x\in I^2 / f(x)=0$

(tarea para el hogar: escribirlo más corto, y generalizarlo)

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Escrito por julianhaddad

Se buscan demostraciones

Julio 21, 2007

La idea es encontrar demostraciones elementales.

En lo que sigue definimos la bola $D^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert \le 1\}$ y la esfera $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert = 1\}$ .

1) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$f(a)=f(-a)$ .

2) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua y $a,b$ en $S^2$ . Entonces existe alguna reflexion de $S^2$ en $S^2$ que lleva a estos puntos en $a',b'$ tales que

$f(a')=f(b')$ .

3) Sea $f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ continua y $a,b,c$ en $S^2$ que forman un triangulo equilatero. Entonces existe alguna reflexion de $S^2$ en $S^2$ que lleva a estos puntos en $a',b',c'$ tales que

$f(a')=f(b')=f(c')$ .

4) Sea $f:S^2\rightarrow S^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$ff(a)=a$ .

5) Sea $f:S^2\rightarrow S^2$ continua, entonces existe $a$ en $S^2$ tal que

$f(a)=a$ o $f(a)=-a$ .

6) Probar que no existe un campo de vectores tangentes sobre $S^2$ .

7)(No Retraccion) Probar que no existe $f:D^n\rightarrow S^{n+1}$ tal que $f(x)=x$ para todo $x$ en $S^{n+1}$ .

8 ) (Borsuk-Ulam) Sea $f:S^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ continua, entonces existe $a$ en $S^n$ tal que

$f(a)=f(-a)$ .

9) Sea $2\leq k\leq n+1$ y $C\subset S^n$ un conjunto de $k$ puntos. Probar que si $f:S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n-k+2}$ entonces existe un $C'\subset S^n$ congruente a $C$ tal que todos sus puntos tengan la misma imagen en $\mathbb{R}^{n-k+2}$ en el caso

a) $k=2$
b) $k=3$ y $n=2$

10.1) Probar que no existe $f:S^{n+1}\rightarrow S^n$ que preserve antipodas.

10.2) Probar que no existe $f:D^n\rightarrow S^{n+1}$ que preserve antipodas.

11) Probar que si $f:S^n \rightarrow S^n$ preserva antipodas entonces es sobreyectiva y no es homotopicamente nula.

12) Probar que si tenemos un campo de vectores tangentes que nunca se anula sobre $S^n$ entonces $n$ es impar

13) Probar que $D^n$ y $D^m$ no son homeomorfos si $n\neq m$ .

Bonus Track:(Borsuk)
14) Si cubrimos a $S^n$ con $n+1$ cerrados entonces hay dos puntos antipodales en el mismo cerrado.

15) Si un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^m$ esta cubierto por $n+1$ cerrados entonces existe $f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$ continua tal que para todo $y$ en $\mathbb{R}^n$ se tiene que $f^{-1}(y)$ esta contenido en uno de los $n+1$ cerrados.