La sombra de una duda…

Mayo 12, 2008

Más sencillo imposible…

Sean K y L cuerpos, tales que existen g: L \to K, y f: K \to L morfismos (en particular son inyectivos). ¿Es cierto entonces que los cuerpos son isomorfos?

20 comentarios | Uncategorized | Etiquetado: | Permalink
Escrito por Marlowe, PI

Un teorema de Burnside, o la crisis de la identidad

Abril 17, 2008

La matriz identidad sufre de una terrible crísis. Un subrepticio grupo de matrices planea atacarla simultáneamente, y según sus cálculos, les basta a todas con elevarse a la n-ésima potencia para alcanzarla. Asustada por tan ominosa constante, el neutro multiplicativo recayó en el misticismo, consultando a las matrices que habitan las arcanas dimensiones infinitas, que le contestaron: “No te preocupes. Rodéate de infinitas matrices cargadas de valor y autovalor y estarás a salvo. Nada podrá hacer ante tí entonces un grupo finito de matrices”.

La matriz identidad se mostró sorprendida. Sabios son los que habitan dimensiones superiores a \aleph_5, pero… ¿Cómo supieron que el grupo era finito?

4 comentarios | Uncategorized | Etiquetado: | Permalink
Escrito por Marlowe, PI

Carlos me ganó de mano, pero acá va…

Marzo 22, 2008

Caracterizar los subgrupos invariantes de GL_n(\mathbb C). Sí, así nomás. De una.

4 comentarios | Uncategorized | Etiquetado: | Permalink
Escrito por Marlowe, PI

Saber dónde estás parado

Noviembre 7, 2007

Queremos pintar el piso de blanco y negro de forma que con sólo mirar para abajo, uno pueda saber dónde está:

dados m,n \in \mathbb N con n < m y dada A \in M_m(\mathbb Z_2)
sea
p:\mathbb Z_m \times \mathbb Z_m \longrightarrow M_n(\mathbb Z_2) dada por

(x,y)\longmapsto (A_{i+x,j+y})_{i,j}
El problema consiste en (dado n) encontrar el máximo m y una A, talque p sea inyectiva.

Deja un Comentario » | Uncategorized | Etiquetado: , | Permalink
Escrito por julianhaddad

3 de lineal y uno de proba

Agosto 25, 2007

1) Decidir si \exists M \in M_3(\mathbb{R}) tal que el polinomio minimal de M sea x^2+x+1

2) Supongamos que \exists M \in M_n(\mathbb{Q}) tal que el polinomio minimal de M es x^3-2. Demostrar que 3|n

3)Decidir si \exists M \in M_n(\mathbb{Z}) tal que m_M \in \mathbb{Q}[x]-\mathbb{Z}[x]

4) Encontrar un conjunto de tres dados A,B,C de manera que (si se juega a un juego que consiste en que dos jugadores eligen dados distintos y luego los tiran. Gana el que saca el numero mas alto) min(p(A le gana a B),p(B le gana a C),p(C le gana a A)) sea lo mayor posible.

Nota: Podria ser que en un dado este repetido cierto numero, pero no debe ser posible que haya empates, es decir que un mismo numero este en dos dados distintos.

Deja un Comentario » | análisis | Etiquetado: | Permalink
Escrito por quimey

Palabras…palabras…palabras..

Agosto 5, 2007

1) Supongan que tenemos un alfabeto que tiene solo dos letras, a,b y consideremos el conjunto de palabras en este alfabeto. Dos palabras son sinonimos si se puede obtener la segunda a partir de la primera borrando o insertando palabras de la forma XXX donde X puede ser cualquier palabra. Por ejemplo abbbab,aab,abababaab son sinonimos. Decimos que 2 sinonimos tienen el mismo significado ¿Cuantas palabras con distinto significado hay?

2) Hallar la cantidad de elementos de un grupo generado por a,b tales que
a) a^4=b^3=(ab)^2=1
b) aba^{-2}ba=b^3=1
c) a^2=b^2=(ab)^n=1

3) Un grupo G es de exponente 3 si para todo x en G se tiene x^3=1. Demostrar que un grupo de exponente 3 finitamente generado es finito y hallar su orden cuando sea posible.

Nota: El problema 3 es lo mismo que el 1, o sea lo podria haber redactado de la siguiente forma: Demostrar que si en el problema 1 el alfabeto es finito entonces hay una cantidad finita de palabras con distinto significado.

1 comentario | General | Etiquetado: | Permalink
Escrito por charlydif

El Problema de Martín

Julio 13, 2007

El otro día me encontré con Martín (Avendaño, valga la aclaración), y nos colgamos resolviendo el siguiente problema:

Encontrar los x, y \in \mathbb{Q} tales que y^2 = x^3 +x.

Pista:

Después de mucho meditar, Martín dijo “Claro, ¡x^4 + y^4 = z^2 no tiene soluciones enteras!” (Me contó una historia verdaderamente fantástica al respecto, pero este post es demasiado pequeño para contenerla).

2 comentarios | General | Etiquetado: , | Permalink
Escrito por Marlowe, PI

Hurwitz’s theorem

Junio 28, 2007

Supongamos que se tienen n funciones bilineales z_i : \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}

tales que (\sum_{i=1}^n x_{i}^2)(\sum_{i=1}^n y_{i}^2)=\sum_{i=1}^n (z_{i}(x,y))^2

donde x=(x_1,..,x_n)y=(y_1,..,y_n). Entonces n=1,2,4,8

Deja un Comentario » | General | Etiquetado: | Permalink
Escrito por quimey

Epimorfismo de grupos

Abril 14, 2007

Sea f:G\longrightarrow H morfismo de grupos, tal que g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h\: \forall g,h:H\longrightarrow L morfismos de grupos.

Probar que f es sobreyectiva.

Deja un Comentario » | General | Etiquetado: | Permalink
Escrito por julianhaddad

¿Abeliano?

Abril 1, 2007

No es dificil ver que si se tiene un grupo G tal que para todo elemento g vale que g^2=1 entonces G es abeliano. ¿Que pasa si para todo elemento g vale que g^3=1?

2 comentarios | General | Etiquetado: | Permalink
Escrito por charlydif