A pesar de todo

Sabemos que si es una función holomorfa definida en un abierto de que contiene al disco unidad , entonces

.

Más generalmente, muestre que si es solamente suave vale que

,

donde es el operador de Cauchy-Riemann.

Nótese que es holomorfa sii , en vista del teorema de Cauchy-Riemann, así que la segunda igualdad se reduce a la primera cuando es holomorfa en .

Rolle

Sea un polinomio de grado . Si dos de sus raices están en un disco cerrado de radio , entonces hay al menos una raiz de en en disco cerrado concentrico a ése pero de radio .

Nótese como esto generaliza el teorema de Rolle…

No puede ser nilpotente

Sea p un polinomio en una cierta cantidad de variables que no conmutan (o sea, una combinación lineal sobre los complejos de finitas palabras en el alfabeto ).
Supongamos que para cualquier elección de matrices de 2×2 con coef. complejos la evaluación de p en estas matrices da como resultado una matriz nilpotente.

Demostrar que en realidad el resultado era 0 (un poco más que nilpotente)

Isometrías entre espacios normados de igual dimensión finita

Si y son espacios normados reales y es una isometría (función que preserva distancias), sabemos que es afín (lineal más constante) en los siguientes casos:

a) Si la esfera {x \in F / ||x||=1} no contiene segmentos rectos. Por ejemplo, si la norma proviene de un producto interno.

b) Si la isometría es biyectiva (basta con saber que su imagen es todo , porque es claro que es inyectiva).

Sin embargo, por ejemplo si y , tenemos una isometría que no es una función afín.

Queremos probar que no es necesario comprobar ninguna de estas hipótesis en el caso en el que y tienen igual dimensión .

El problema de Burnside

Decidir si existe un grupo infinito, finitamente generado y tal que todo elemento sea de orden finito.

Cuadrados

Un número entero es suma de los dos cuadrados de dos enteros sii no es divisible por ningún primo de la forma . ¿Cuándo es un número racional suma de los cuadrados de dos números racionales?

Crísis de valores

Calcule el producto de los valores críticos de un polinomio en término de sus coeficientes.

Urgh

El teorema de Krein-Milman nos dice que un convexo compacto en un espacio localmente convexo (por ejemplo, un espacio de Banach) es la clausura de la cápsula convexa del conjunto de sus puntos extremales.

Muestre que si el espacio es de Banach de dimensión infinita, entonces casi todo convexo compacto es la clausura de su conjunto de puntos extremales. Aquí “casi todo convexo” significa lo siguiente: el conjunto de los convexos compactos que satisfacen esa propiedad es de primera categoría en el espacio métrico de los convexos compactos con su métrica de Hausdorff.

(Para que esto tenga algún sentido, hay que ver antes que el conjunto de los compactos convexos de un espacio de Banach, dotado de la métrica de Hausdorff, es un espacio métrico completo, claro…)

Retorcido

Sea el cilindro, y sean las inmersiones sugeridas en las siguientes figuras:

La segunda inmersión «da una vuelta completa»

¿Se puede deformar a vía inmersiones?

No tenemos mas trabajo :P

http://arxiv.org/abs/0806.2947