Parametrización de superficie

junio 4, 2008

Sabemos que toda curva se puede parametrizar por longitud de arco.

Me pregunto si toda superficie se puede parametrizar de forma tal que preserve superficie. O sea:

dada \phi : R \longrightarrow \mathbb R ^3 de clase C1, (R es un rectángulo en \mathbb R^2) \exists \gamma:R \longrightarrow \mathbb R ^2 difeomorfismo con su imagen tal que | \gamma (C)|_{\mathbb R^2} = \int _C \parallel \phi _x \times \phi _y \parallel para todo C rectángulo en R

Seguro que no se puede… ¿se podrá hacer localmente?

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5 comentarios to “Parametrización de superficie”

  1. fcukier said

    La condicion implica que los integrandos son iguales. Denotemos f(x,y) al integrando de la derecha. Entonces tendriamos que f = modulo del determinante jacobiano de gamma. Parece entonces cosa de ver si toda funcion positiva f (de dos variables, con hipotesis de regularidad) se puede expresar como det de la matriz jacobiana de un difeo local. Sospecho que no, pero no veo como sale. Quiza usando de algun modo que las derivadas cruzadas de alguna funcion son iguales.

  2. julianhaddad said

    Carlos dice:

    Para la esfera se puede.

    S^2 \longrightarrow S^1 \times I

    dada por

    (x,y,z) \longmapsto ( \frac x {\sqrt {x^2+y^2}} , \frac y {\sqrt {x^2+y^2}} , z)

    preserva áreas

  3. Es cierto. Durán siempre lo cuenta totalmente azorado cuando dicta análisis II.

  4. Grin Without a Cat said

    Cuando uno hace un cambio de coordenadas (u,v)=\phi(x,y), el determinante g de la primera forma fundamental cambia a \bar g=J^2 g, con J=\det \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} el determinante de la matriz jacobiana. Dada una parametrización, la pregunta de Julián es: ¿podemos encontrar un cambio de coordenadas tal que \bar g=1 (localmente)? Para eso, vemos que lo que hay que hacer es encontrar un cambio de coordenadas \phi que tenga J=\frac1{\sqrt g}. Esto es una ecuación en derivadas parciales en las componentes de \phi, de pinta más o menos atemorizadora. Pero como lo único que queremos es un cambio de coordenadas, podemos cruzar los dedos y buscar uno de la forma (x,y)=(u,h(u,v)), como para que la matriz jacobiana sea triangular, el determinante sencillo y la ecuación ordinaria. Entonces el golpe final lo da el teorema de existencia y diferenciabilidad (con respecto a los parámetros… ) de soluciones para ecuaciones ordinarias con parámetros.

  5. fcukier said

    Hola, tenes razon, parece que se puede. Con la notacion anterior y escribiendo
    gamma(x,y)=(u(x,y), v(x,y)) la condicion resulta u_x v_y – u_y v_x = f. Tomando u=x, v_y=f como sugerias (o sea, v=integral de f respecto a y) resulta un difeo local gamma como se buscaba.

    (hay otros, componiendo con un difeo que preserve area, que parece forman un subgrupo estudiado del grupo de difeos locales, ver google area preserving o volume preserving).

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