Por otro lado, el artículo [Cater, F. S. Note on a variation of the Schröder-Bernstein problem for fields. Czechoslovak Math. J. 52(127) (2002), no. 4, 717--720. MR1940052 (2003j:12004)], que no puedo ver, parece relevante…

Si es una variedad algebraica irreducible sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , tenemos el cuerpo de funciones racionales en . (si me permiten voy directo a los comentarios, salteando por el momento las definiciones de todos los terminos standard que estoy usando). Si es un morfismo racional dominante entre dos variedades irreducibles entonces tenemos un morfismo (inyectivo) de cuerpos .

Existen varios ejemplos (ver mas abajo) de la siguiente situacion: variedades tales que
1. y no son isomorfos (como C-algebras), o sea, como se dice, X e Y no son biracionalmente isomorfas, y
2. Existen morfismos racionales dominantes

Sale de 2. que tenemos morfismos (inyectivos) de cuerpos
y entonces un contraejemplo.
Notar que la composicion no se supone que sea la identidad.

Ejemplos:

A) espacio afin de dimension d, con lo cual es extension trascendente pura de C, con grado de trascendencia d.
Y es una cierta variedad de dimension d, provista de aplicaciones .
Cualquier variedad proyectiva Y de dimension d tiene una aplicacion dominante a C^d.
Pero cuando una Y recibe una aplicacion dominante desde C^d decimos que Y es uniracional.
Entonces estamos hablando de la existencia de variedades Y que son uniracionales pero no son racionales (o sea, C(Y) no es isomorfo a C(x1, … , xd)). Y el punto es que tales Y existen. Un ejemplo es tomar Y el conjunto de ceros en C^4 de un polinomio de grado 3. Es un teorema no trivial (Clemens-Griffiths) que Y es uniracional y no-racional. Hay otros ejemplos de variedades uniracionales no-racionales. Lo que menciona Mariano en el ultimo mensaje tiene que ver con esto, ya que el teorema de Luroth equivale a decir que una variedad Y de dimension uno uniracional es racional. Pero si Y tiene dimension 3 (o mas), como en el ejemplo de Clemens-Griffiths, los dos conceptos no son equivalentes en general.

B) Tomemos ahora las dos variedades X, Y de dimension uno (curvas algebraicas proyectivas, irreducibles, no singulares). Denotemos g(X) el genero de X. Se sabe que si existe un morfismo dominante X –> Y entonces g(X) es mayor o igual a g(Y). Entonces para construir un contraejemplo estamos forzados a elegir dos curvas con igual genero. Por otro argumento, basado en la llamada formula de Hurwitz, resulta que para que haya contraejemplo debe ser
g(X) = g(Y) = 1, o sea, curvas elipticas. Y en ese caso se puede construir contraejemplo, tomando X, Y curvas elipticas isogenas (isogenous) pero no isomorfas, cosa que es posible (creo).
Esto significa que X, Y son topologicamente toros S^1 x S^1 y tenemos aplicaciones
X –> Y –> X
que son al mismo tiempo algebraicas y revestimientos topologicos, e inducen los morfismos de cuerpos deseados C(X) –> C(Y) –> C(X)
En este caso, los cuerpos C(X) y C(Y) son cuerpos de funciones meromorfas f: C –> C doblemente periodicas respecto a sendos reticulados (ver p. ej. Cartan, funcion P de Weierstrass, etc.)

Bueno, disculpen que estos ejemplos no son directos … Pero al menos muestran una vez mas que la preguntita tiene aspecto inocente pero … De todas maneras me parece que deberia ser posible encontrar otros contraejemplos elementales.

Saludos,
Fernando

Estas cosas tienen significado geométrico directo. Por ejemplo, el teorema de Lüroth dice (a menos de un tecnicismo) que si es un morfismo (de curvas algebraicas) no constante de a una curva proyectiva , entonces es tambíen .

Todavía me siento medio conflictuado al respecto, porque en un par de materias nos la pasábamos hablando de extensiones de cuerpos. Morandi dice que “K es una extensión de L [como cuerpos] si tenemos un morfismo “, y define el grado de la extensión como la dimensión de como -espacio vectorial. Entonces es posible que K sea una extensión de K de grado mayor que 1. O.o. Ejemplo [copyright nico sirolli]: Sea , con t trascendente, y sea la transformación lineal “multiplicar por … entonces, tiene una estructura de espacio vectorial (donde multiplicar por X es aplicar T). Obviamente ambos cuerpos son isomorfos, pero dependiendo de la T, la dimensión puede ser arbitrariamente grande.

Volviendo al ejemplo de Carlos: sea un cuerpo cualquiera, un conjunto infinito de variables, la clausura algebraica de y , con una nueva variable. Claramente y no son isomorfos, porque el primero es algebraicamente cerrado y el segundo no. Sea la inclusión. Sea la clausura algebraica de y sea la inclusión. Si mostramos que es isomorfo a , obtenemos otro contraejemplo. Pero tiene a como base de trascendencia sobre y de hecho es la clausura algebraica de . Como y son equipotentes, hay un isomorfismo . Como la clausura algebraica es única, entonces .

Remmert demuestra un lema muy sencillo con caracteres de -álgebras (un caracter es simplemente un morfismo de -álgebras, ). Demuestra que los únicos caracteres son las evaluaciones en un punto, y a partir de ahí es cuesta abajo ver que si se tiene un morfismo de anillos de funciones holomorfas, entonces es inducido por una función holmorfa sobre los dominios.

Después el verdadero teorema de Iss’sa es ver que un morfismo de cuerpos de meromorfas manda holomorfas en holmorfas, y ahí se mete con las valuaciones… Está todo hecho sobre abiertos de y no tiene grandes complicaciones.

La afirmación que quiero mostrar es: si es un abierto de y es el cuerpo de funciones meormorfas en , entonces puede decidir si es simplemente conexo o no mirando solamente a como cuerpo abstracto.

Sea el anillo de las funciones holomorfas en y sea el grupo de las unidades de , que no son más que las funciones holomorfas en que no se anulan. Se trata de un grupo multiplicativo. Sea, por otro lado, el subconjunto de las funciones de la forma con . Es un ejercicio estándar de análisis complejo mostrar que es simplemente conexo sii el grupo es trivial—para los que saben de que estoy hablando: uno puede mostrar que es isomorfo a , la cohomologia singular de . Lo que vemos con esto es que para mostrar mi afirmación alcanza con mostrar que solamente a partir del conocimiento de cuerpo podemos encontrar a y a puramente de manera algebraica. Notemos que para determinar basta determinar a .

Sea el conjunto de todos los elementos no nulos. Entonces , es decir, las exponenciales son precisamente las funciones de que no se anulan y que tienen raíces latex -ésimas para todo en . Esto es fácil de mostrar y, a su vez, muestra que el cuerpo determina a algebraicamente.

Una valuacion discreta sobre es una función tal que y . Si , entonces hay una valuación discreta sobre tal que es el orden de anulación de en (un polo es un cero con multiplicidad negativa, a estos fines) para cada . Digamos que dos valuaciones discretas y son equivalentes si existen y tales que .

Si es una valuación sobre , ponemos . Es fácil ver que se trata de un subanillo de (es más: es local y su cuerpo de cocientes es precisamente latex ; es lo que se llama un anillo de valuación discreta). Notemos que es claro que , porque una función meromorfa es holomorfa si no tienen polos.

Ahora bien, Iss’sa prueba que toda valuación discreta de es equivalente a una valuación proveniente de un punto de . Esto nos dice, si es el conjunto de todas las valuaciones discretas de , que . Como el conjunto de valuaciones de un cuerpo queda determinado por el cuerpo (!), con esto probamos la afirmación que queríamos probar.

Ese lema de Iss’sa ebería poder probarse fácilmente en el caso de abiertos del plano—él lo prueba en un contexto considerablemente más general (variedades de Stein) y ahí la demostración no es complicada, … pero otra vez es un martillo para matar nuestro mosquito.