Campos

Se tiene un campo f: \mathbb R ^n \longrightarrow \mathbb R ^n continuo y localmente Lipschitz

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria asociada x' = f \circ x
sea \Theta _t (p) la solución cuyo valor inicial es p
o sea,
\frac{\partial}{\partial t}\Theta _t (p) = f(\Theta _t (p)) y \Theta _0 (p) = p

Sea A \subset \mathbb R^n medible

Probar que si div(f) = 0 en todos lados, entonces
| \Theta _t (A) | es constante en t

Gracias David Kiegel

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4 comentarios para “Campos”

  1. julianhaddad Dice:
    Mayo 3, 2008 a las 6:48 pm | Responder

    Ojo que hay informalidades dando vueltas por ahí.
    Sobre dominios de las soluciones, y sobre la suavidad de la F.

    Tengamos espíritu analista y supongamos que las funciones son buenas.

  2. Anónimo Dice:
    Mayo 5, 2008 a las 3:07 pm | Responder

    En el libro de Marsden-Tromba esta hecha la demostracion para conjuntos E abiertos. Pasar de ahi a medibles es un ejercicio bastante estandard de Teoría de la Medida.

  3. Anónimo Dice:
    Mayo 6, 2008 a las 10:09 am | Responder

    Antes de mirar un libro, un ejercicio interesante es encontrar enunciados similares (y verdaderos…) que involucren al rotor y al gradiente

  4. julianhaddad Dice:
    Mayo 13, 2008 a las 10:37 am | Responder

    Bueno. Ya salió (le salió a David).
    Es una cuenta muy linda.
    Hints:
    1) La diferencial del determinante en la identidad es la función traza
    2) La traza de la matriz diferencial de una función de \mathbb R^n en \mathbb R^n es la divergencia =)
    3) La medida de \phi (A) es una integral en A

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