Buscar un bello, simple, elegante, transparente y geométrico argumento para la existencia de un polígono de n lados de área máxima. Prohibido usar análisis.
Buscar un bello, simple, elegante, transparente y geométrico argumento para la existencia de un polígono de n lados de área máxima. Prohibido usar análisis.
Abril 25, 2008 a las 9:16 pm |
¿No falta algo en el enunciado? ¿Los
lados son dados ???
Abril 25, 2008 a las 9:34 pm |
El perímetro fijo, perdón…
Abril 26, 2008 a las 1:02 pm |
¿por qué no vale usar análisis?
¡es la forma elegante de hacerlo!
¡viva la compacidad!
Abril 26, 2008 a las 1:13 pm |
leé el nombre del post.
Abril 26, 2008 a las 7:47 pm |
El problema de una demostración elemental para la existencia viene de un thread en sci.math en el que alguien quería una forma de explicarle la razón por la que la igualdad isoperimétrica para polígonos funciona a un chico de 14 años.
No me molestaría, claro, ver algumentos más tecnológicos. (Tengo mis dudas de que uno pueda probar la existencia de manera elemental…)
Mayo 3, 2008 a las 1:23 am |
Mmm algunas observaciones, supongamos que el poligono tiene perimetro
y queremos ver que el 
-agono regular tiene area maxima entre todos los de perimetro 
.
1) Si tengo un segmento
entre todos los triangulos 
de perimetro fijo el de mayor area es el isoceles de base 
. (esto se debe poder demostrar sencillo, al menos creo que estoy casi seguro de haberlo hecho a los 15 años). Mas aun, cuanto mas chico sea 
mas grande es el area de 
.
2) Si no todos los lados miden
entonces agarro uno mas grande que 
y uno mas chico. Si estan consecutivos entonces modifico esos dos lados para que uno me quede 
y el otro lo que corresponda y agrando el area (por lo anterior). Si no estan consecutivos, notemos que podemos intercambiar dos aldos consecutivos sin variar el area, entonces mediante varios “flips” los pongo seguidos y hago lo de recien. En fin, tarde o temprano (a lo sumo 
pasos) me construi un 
agono con todos lados 
y mas area.
3) Alcanza probar el siguiente lema, entre todos los cuadrilateros
con 
y 
el de mas area es el que esta inscripto en una circunferencias. Mas aún, cuanto mas chico sea 
mas grande es el area.
4) Con el lema anterior y un argumento parecido a él de 2, hay que ingeniarselas para llegar al
agono regular agrandando el area en cada paso.
Nunca dije que lo haya hecho….dije “un par de observaciones”.
Otro posible ataque seria ver directamente que debe tener area mas chica que el
agono regular. Usando la desigualdad isoperimetrica sale al toque, porque en cada lado (recuerden que puedo suponer que todos miden 
) le agrego lo que quede entre la circunferencia y un lado del 
agono regular y la figura formada va a tener perimetro el de la circunferencia y por ende menos area.
Obvio que lo mas probable es que el problema venga de la desigualdad isoperimetrica y ahora deberia pensar como demostrarla sin hablar de compacidad. Pero me parece que puede llegar a salir usando Brunn-Minkowski aunque quizas necesite alguna cosa sucia como Fubini (aunque se debe poder evitar) (o sea usando Brunn-Minkowski seguro que sale, la pregunta es que tan elemental sale Brunn-Minkowski).