Bandas de Mobius

a) Probar que con un rectangulo de 1\times \sqrt 3 se puede formar una Banda de Mobius diferenciable (con plano tangente en cada punto).

b) Probar que con un rectangulo de 1\times {\pi \over 2} NO se puede formar una Banda de Mobius diferenciable.

c) ¿Cual es el mejor \lambda?

Esta entrada fue publicada el a las Viernes 11 de Abril de 2008 y está archivada bajo las categorías Uncategorized. Puedes seguir las respuestas de esta entrada a través de sindicación RSS 2.0. Puedes dejar una respuesta, o trackback desde tu propio sitio.

4 comentarios para “Bandas de Mobius”

  1. Marlowe:PI Dice:
    Abril 12, 2008 a las 10:40 am | Responder

    Definí “formar” y “banda de Móbius diferenciable” (?).

  2. charlydif Dice:
    Abril 12, 2008 a las 1:20 pm | Responder

    Mmmm no se, yo diria que si R es el rectangulo entonces “formar” es dar una f:R\times I\rightarrow \mathbb{R}^3 continua tal que f|_{R\times x}:R\times x\rightarrow \mathbb{R}^3 sea difeo “isometrico” con su imagen (o sea quiero que se respeten las longitudes de las curvas) salvo para x=1, para x=1 es difeo salvo por los bordes y la imagen es difeo con la Banda de Mobuis.

    Pero no se… quizas hay mejores maneras de decirlo.

  3. julianhaddad Dice:
    Abril 14, 2008 a las 10:16 am | Responder

    Para que se respeten las longitudes de curvas, basta pedir que la primera forma fundamental de la parametrización de la superficie sea la identidad.
    i.e. si
    f: R \longrightarrow \mathbb R ^3 es la parametrización de la banda,
    que f_{x_i} . f_{x_j} = \delta_{i,j}

  4. Grin Without a Cat Dice:
    Abril 23, 2008 a las 2:01 pm | Responder

    ¿Alguien tiene a mano una inmersión plana de la banda en \mathbb{R}^3?
    Digamos que eso significa: una función f:[-1,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 diferenciable, tal que f(x,y+\lambda)=f(-x,y) para algún \lambda>0, con restricción inyectiva a [-1,1] \times [0, \lambda) e isométrica como en el comentario de Julián—o alguna variación razonable.

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