Distancia

Sea el grupo unitario, visto como grupo de Lie dotado de una métrica riemanniana invariante por translaciones. Determine la distancia geodésica entre dos elementos del grupo.

Simplicidad

alas, it is my vice, my fault:
Whiles others fish with craft for great opinion,
I with great truth catch mere simplicity

William Shakespear, Troilus and Cressida, Acto 4, Escena 4. Habla Troilo.

Una lista de números reales distintos contiene una sublista de elementos que es o creciente o decreciente. Por ejemplo, la lista tiene a como sublista ordenada.

Respuesta sencilla a pregunta compleja

Es sabido que si , la única forma de que se anule es que sea . Así, si , como la distancia entre y cualquiera de los puntos es , siempre que sabremos que . La pregunta es: ¿se puede probar esto sólo acotando, sin usar el argumento de que las raíces de son ?

Por ejemplo: ¿Se puede probar que si elegimos un real y consideramos la matriz , entonces toda otra matriz cuadrada que esté a distancia menor que de será inversible? Acá la distancia me parece que debería ser la dada por la norma de Frobenius, que es elevar al cuadrado todos los coeficientes, sumar y tomar raíz cuadrada. O alternativamente, se calcula con la fórmula . (Después de esto hay que normalizar dividiendo el resultado por para que tenga norma 1.)

Una formulación precisa creo que es la siguiente: Sea una -álgebra normada con unidad , y sea . Sea tal que . Probar que es inversible. Se puede suponer que el producto es conmutativo para la prueba.

Nota: No me consta que sean ciertas estas cosas.

Sabanitas.

Sea una función que tiene un mínimo local en 0, tal que y en

Entonces tiene al menos dos puntos críticos distintos de

(Y si entonces tiene al menos uno)

Fácil pero bonito

Los números , , y son divisibles por . Muestre que

es divisible por .

No necesariamente

Un anillo finito no necesariamente unitario y no necesariamente conmutativo que es un dominio de integridad es necesariamente un cuerpo.

El sueño de la razón produce monstruos

Si es un abierto, digamos que un punto es complicado si para cada curva que converge a cuando es

y

,

(Es fácil ver que puede darse un sentido razonable al argumento en esta situación)

Dé un ejemplo de un conjunto que tenga un punto complicado en su frontera. ¿Pueden ser complicados todos los puntos de la frontera de un abierto acotado?

Digamos tambien que un punto es positivamente semi-complicado si

para cada curva tal que , y que es negativamente semi-complicado si el límite existe pero vale .

¿Pueden ser todos los puntos de la frontera de un abierto acotado semi-complicados? ¿Y todos positivamente semi-complicados?

Para Charly que lo sigue por la Web

Sean e intervalo abierto. Sea . Una curva paramétrica veces derivable se dice -regular en un si los vectores son linealmente independientes.

Se puede ver que si la traza (imagen) de está contenida en un subespacio de dimensión , no puede ser  -regular en ningún .

Por otra parte, para cada puede conseguirse una curva que no es nunca -regular pero cuya traza no está contenida en ningún subespacio propio de .

Decidir si vale el siguiente teorema:

Si es -regular en todo pero no es -regular en ningún , entonces su imagen está contenida en algún subespacio de dimensión .

Unicidad

Si es tal que , entonces hay (a menos de isomorfismo) exactamente un grupo de orden .

A pesar de todo

Sabemos que si es una función holomorfa definida en un abierto de que contiene al disco unidad , entonces

.

Más generalmente, muestre que si es solamente suave vale que

,

donde es el operador de Cauchy-Riemann.

Nótese que es holomorfa sii , en vista del teorema de Cauchy-Riemann, así que la segunda igualdad se reduce a la primera cuando es holomorfa en .