Cuadrados

Un número entero es suma de los dos cuadrados de dos enteros sii no es divisible por ningún primo de la forma . ¿Cuándo es un número racional suma de los cuadrados de dos números racionales?

Crísis de valores

Calcule el producto de los valores críticos de un polinomio en término de sus coeficientes.

Urgh

El teorema de Krein-Milman nos dice que un convexo compacto en un espacio localmente convexo (por ejemplo, un espacio de Banach) es la clausura de la cápsula convexa del conjunto de sus puntos extremales.

Muestre que si el espacio es de Banach de dimensión infinita, entonces casi todo convexo compacto es la clausura de su conjunto de puntos extremales. Aquí “casi todo convexo” significa lo siguiente: el conjunto de los convexos compactos que satisfacen esa propiedad es de primera categoría en el espacio métrico de los convexos compactos con su métrica de Hausdorff.

(Para que esto tenga algún sentido, hay que ver antes que el conjunto de los compactos convexos de un espacio de Banach, dotado de la métrica de Hausdorff, es un espacio métrico completo, claro…)

Retorcido

Sea el cilindro, y sean las inmersiones sugeridas en las siguientes figuras:

La segunda inmersión «da una vuelta completa»

¿Se puede deformar a vía inmersiones?

No tenemos mas trabajo :P

http://arxiv.org/abs/0806.2947

Mientras tanto…

No hay mucha actividad por estos lados…

Para mantener el piloto encendido, un par de links a dos notas de la muy interesante Michèle Audin:

• Conseils aux auteurs de textes mathématiques, con alguna que otra joya como la tan frecuentemente olvidada
  
  Taulogía 2.3.1: Un texto matemático es, antes que nada, un texto.
• Comment éviter les mauvais exposés de colloquium?, que entre otras cosas plantea el problema de determinar a qué ganador de la medalla Fields le dieron un doctorado honoris causa en matemática…

Variaciones

‘Can you do Division? Divide a loaf by a knife—what’s the answer to that?’

Lewis Carroll, Alice in Wonderland.

Sean y dos anillos de división y sea una función inyectiva que es un morfismo de los grupos abelianos aditivos subyacentes y tal que para cada se tiene que

.

Entonces es o bien un morfismo de anillos o bien un anti-morfismo de anillos.

Cosas con M

‘They were learning to draw,’ the Dormouse went on, yawning and rubbing its eyes, for it was getting very sleepy; ‘and they drew all manner of things—everything that begins with an M—’

‘Why with an M?’ said Alice.

‘Why not?’ said the March Hare.

Alice was silent.

Lewis Carroll, Alice in Wonderland.

Si es un grafo (simple, sin lazos, no orientado) finito, una inmersión extraña de en el plano es una forma de dibujarlo en el plano de manera tal que (i) los vértices son todos distintos, (ii) cada arco es un arco de Jordan (sin problemas podemos suponer que son suaves o lineales a trozos), (iii) si dos arcos se intersecan lo hacen o bien en un extremo común o bien en puntos interiores de los dos, y en este segundo caso la intersección es transversal, y (iv) se cumple la condición de que todo par de arcos se interseca una vez.

¿Puede dar ejemplos?

Formalidades

Sea el conjunto de series formales de potencias

con coeficientes complejos, término constante nulo y .
Definamos una operación de manera que si y son dos elementos de , entonces

.

Es fácil ver que esta serie converge, así que esto tiene sentido. Por supuesto, esta operación es simplemente la composición formal.

• Muestre que es un grupo. ¿Es divisible?
• Es subconjunto de las series con radio de convergencia positivo es un subgrupo. ¿Es divisible? ¿Puede dar al menos condiciones para que un elemento de sea el cuadrado de otro elemento de ?

What’s cohomology got to do, got to do, got to do with it?

Definición: Sea un anillo (conmutativo, con unidad…), y sean , dos ideales de . Definimos el conductor de en como .

Sea un polinomio, que se escribe como , donde cada . Supongamos además que los son todos distintos. Demostrar que . 

¿Qué pasa si se agregan más variables?