Seminario de Problemas

Tan alto como se pueda

Enero 9, 2010

Tenemos un tablero de damas (o de ajedrez) infinito (para todos lados). Hay una recta horizontal que podr’iamos llamar el eje x.

Todos los casilleros que se encuentran por debajo del eje x están ocupados por damas. Todos los casilleros que se encuentran por encima del eje x están libres.

Un movimiento válido de una dama es saltar por encima de otra dama contigua (que esté arriba, abajo, a la izquierda o a la derecha), si es que puede caer en un casillero libre. En este caso la dama que es saltada, desaparece.

Decidir cuán alto pueden llegar.

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Escrito por julianhaddad

A que no lo imaginabas

Diciembre 29, 2009

Supongamos que tenemos dos curvas de Jordan $A$ y $B$ , que determinan regiones acotadas $C_A$ , $C_B$ de modo que $B$ está contenido en $C_A$ . Se quiere partir $C_A$ en pedazos de modo tal que se pueda formar con ellos las dos piezas disjuntas $C_A$ \ $C_B$ y $C_B$ pero donde ahora $C_B$ se encuentre en la componente no acotada de $C_A$ .

Hasta aquí todo muy simple; basta con dividir $C_A$ en las dos regiones determinadas por $B$ y listo, tenemos los dos pedazos que podemos mover para lograr la ubicación que queremos. Pero el desafío aquí es efectuar la partición de modo tal que las piezas puedan moverse continuamente manteniéndose todas disjuntas hasta llegar a obtener las dos piezas finales. Más precisamente, buscamos una partición $p_i$ de $C_A$ , una partición $q_i$ de $(C_A$ \ $C_B) \cup C_B$ y familias de isometrías del plano $T_t^i$ para $t \in [0,1]$ , continuas respecto de $t$ , tales que $T_0^i=Id$ , $T_1^i (p_i)=q_i$ y $T_t^i (p_i) \cap T_t^j (p_j)= \emptyset$ para todo $t$ .

Probar que, no importa qué tan intrincada o fractalosa sea $B$ , siempre puede encontrarse una tal partición con a lo sumo 20 pedazos.

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Escrito por godelian

Familias

Noviembre 23, 2009

Sea $\mathcal F$ una familia de funciones analíticas definidas sobre un abierto $U\subseteq\mathbb C$ . Si para cada $z\in U$ el conjunto $\{f(z):f\in\mathcal F\}$ es finito, ¿es necesariamente la familia $\mathcal F$ finita?
¿Qué pasa si las funciones de $\mathcal F$ son solamente infinitamente diferenciables?

Si en el primer punto reemplazamos la palabra «finito» por «numerable», entonces el enunciado que se obtiene es, de acuerdo a un teorema de Paul Erdős, independiente de $\mathrm{ZFC}$ . (!!)

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Escrito por Grin Without a Cat

Rectángulos

Noviembre 22, 2009

Supongamos que hay n puntos en un cuadrado, uno de los cuales es el vértice inferior izquierdo. ¿Siempre se pueden elegir n rectángulos disjuntos, cada uno de ellos con el vértice inferior izquierdo en uno de los puntos, de manera que cubran más de la mitad del área del cuadrado?

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Escrito por unimbecil

faltan problemas de probabilidad y me acorde uno

Noviembre 21, 2009

Un mono tipea al azar las 26 letras del alfabeto en una pc,

¿cuánto tarda en promedio en escribir ABRACADABRA?

Gracias M.G

un mono tipea al azar las 26 letras del alfabeto en una pc, cuanto tarda en promedio en escribir abracadabra? es aceptable como problema para la página?

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Escrito por julianhaddad

Tuberías

Noviembre 13, 2009

En el plano $xy$ de $\mathbb{R}^3$ dibujemos el tablero de ajedrez infinito usual, y despues consideremos la superficie $S$ de los puntos de $\mathbb{R}^3$ que están a distancia $1/4$ de los puntos de las rectas que dibujamos. Por otro lado, tapemos a $\mathbb{R}^3$ por cubos de lado $1$ como siempre y consideremos la superficie $T$ de los puntos de $\mathbb{R}^3$ que están a distancia $1/4$ de la unión de los lados de todos los cubos.

¿Las superficies $S$ y $T$ son homeomorfas?

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Escrito por Grin Without a Cat

Distancia

Octubre 16, 2009

Sea $U(n)$ el grupo unitario, visto como grupo de Lie dotado de una métrica riemanniana invariante por translaciones. Determine la distancia geodésica entre dos elementos del grupo.

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Escrito por Grin Without a Cat

Simplicidad

Octubre 14, 2009

alas, it is my vice, my fault:
Whiles others fish with craft for great opinion,
I with great truth catch mere simplicity

William Shakespear, Troilus and Cressida, Acto 4, Escena 4. Habla Troilo.

Una lista de $n^2+1$ números reales distintos contiene una sublista de $n+1$ elementos que es o creciente o decreciente. Por ejemplo, la lista $3,1,4,2,5$ tiene a $3,4,5$ como sublista ordenada.

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Escrito por Grin Without a Cat

Respuesta sencilla a pregunta compleja

Octubre 11, 2009

Es sabido que si $z\in\mathbb{C}$ , la única forma de que se anule $f(z)=1+z^2$ es que sea $z=\pm i$ . Así, si $x\in\mathbb{R}$ , como la distancia entre $x$ y cualquiera de los puntos $\pm i$ es $\sqrt{1+x^2}$ , siempre que $|z-x|<\sqrt{1+x^2}$ sabremos que $f(z)\neq 0$ . La pregunta es: ¿se puede probar esto sólo acotando, sin usar el argumento de que las raíces de $f$ son $\pm i$ ?

Por ejemplo: ¿Se puede probar que si elegimos un real $x$ y consideramos la matriz $X=xI_n \in \mathbb{R}^{n\times n}$ , entonces toda otra matriz cuadrada $Z$ que esté a distancia menor que $\sqrt{1+x^2}$ de $X$ será inversible? Acá la distancia me parece que debería ser la dada por la norma de Frobenius, que es elevar al cuadrado todos los coeficientes, sumar y tomar raíz cuadrada. O alternativamente, se calcula con la fórmula $\|A\|=\sqrt{tr(A^tA)}$ . (Después de esto hay que normalizar dividiendo el resultado por $\sqrt{n}$ para que $I_n$ tenga norma 1.)

Una formulación precisa creo que es la siguiente: Sea $\mathcal{A}$ una $\mathbb{R}$ -álgebra normada con unidad $I$ , y sea $x \in \mathbb{R}$ . Sea $z \in \mathcal{A}$ tal que $\|z- xI\| < \sqrt{1+x^2}$ . Probar que $1+z^2$ es inversible. Se puede suponer que el producto es conmutativo para la prueba.